В.П. Шенягин, В.А. Юрков 

НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТА КАК МАСШТАБНАЯ СИММЕТРИЯ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА И СВОЙСТВО ФРАКТАЛЬНОСТИ

При решении глобальной проблемы познаваемости мира особая надежда возлагается на теорию иерархических систем и вложенных процессов. Предпочтение отдается простым, в структурном смысле, моделям, поддающимся декомпозиции на уровне иерархии. Такие структуры относятся к классу оптимальных по критериям устойчивости, гармоничности и экономичности затрат на их реализацию. В ряде случаев они позволяют избавиться от нелинейных форм, сведя решения к линейному виду. За минувшие два десятилетия рыночная экономика претерпела существенные изменения, сделавшие ее динамичной и конкурентной, сложной и рискованной, требующей четких, глубоких и обширных знаний теории, практического опыта и адекватной психологии поведения. Этому может способствовать и фрактальный анализ в экономике.

Концепция фрактальности. В основе концепции фрактальности лежит идеализация реального мира – гипотеза самоподобия, утверждающая, что вид фрактальной структуры объектов существенно не меняется при ее масштабных преобразованиях в определенном диапазоне значений масштаба.

Понятие фрактальности. Слово «фрактал» означает дробный или состоящий из фрагментов и отображает изломанный, фрагментарный характер объектов и явлений с дробными размерностями, служащими количественной мерой наглядности фракталов. Понятие фрактальности было предложено Бенуа Б. Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур.

Определение фрактала. Строгого и полного определения фракталов нет. По Мандельброту «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Такие структуры порождают процессы с обратной связью, когда результат одной операции является значением следующей. Главное требование при этом – нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, поскольку нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором окажется динамическая система после ряда итераций, зависит от закона ее изменения и начального состояния.

Свойства фракталов. Основным свойством фракталов является нецелое, дробное значение их размерности. Универсальным свойством фракталов является самоподобие.

Применяемость фракталов. Фракталы все шире входят в обиход математиков, физиков, радиотехников, специалистов других естественных наук. Проявляются они и в экономике. Современная рыночная экономика, главной целью которой является преумножение капитала, фрактальна и заслуживает дальнейших детальных исследований.

Сложный процент как итерационный процесс

Экономическим процессом, в котором одна и та же операция повторяется многократно и результат последующей определяется значением предыдущей, является наращивание денежных средств по сложным процентам. Этот процесс характеризуется нелинейной зависимостью между результатом и начальным значением. Задав величины доходностей , инвестор определяет будущую сумму , которая будет получена через количество периодов времени  при инвестировании начальной суммы ,

.                             (1)

При  формула (1) принимает вид

.                                                       (2)

Дробное значение размерности придает нецелая величина доходности

,                                      (3)

где:  - доход;  - коэффициент приумножения капитала; «» - указывает на полную утрату начального капитала  при передаче его во временное пользование с целью извлечения дополнительного дохода.

Таким образом, рекапитализация доходов по сложным процентам отвечает понятию фрактальности.

Виды фрактальной структуры рыночной экономики

Эффективность современных методов наращивания стоимости актива и максимизации прибыли при наименьших затратах в значительной степени связана с использованием денег. Одна из основных концепций теории и практики принятия управленческих решений состоит в том, что ценность определенной суммы денег есть функция от времени их возникновения.

IRV-связь

Простейшая финансовая операция. Простейшим видом финансовой операции является предоставление в долг некоторой суммы  с условием, что через период времени, например, год, будет возвращена сумма . В результате инвестор-кредитор получит доход . Доходность финансовой операции характеризуется соотношением (3), а стоимость определяется выражением

.                                            (4)

где:  трактуется, как затраты, которые необходимо понести для получения дохода , при этом вместе с ним предусматривается возврат данных затраченных средств; ;  - ожидаемый единовременный доход; в стоимости  учтен ее возврат в составе суммы  по окончании периода ;  - доходность финансовой операции за период.

Актив, приносящий доход в виде долговременного равновеликого обыкновенного аннуитета. Текущая стоимость обычного - периодного равновеликого аннуитета величиной  определяется по формуле

.                                (5)

Текущая стоимость бесконечного аннуитета определяется путем перехода (5) к пределу при

.

Текущая стоимость бесконечного аннуитета в краткой записи без сохранения знака предела определяется выражением

,                                                         (6)

где:  - предел, к которому стремится стоимость бесконечного аннуитета; ;  - равновеликий ежегодный доход, ожидаемый в будущем в течение  периодов;  - коэффициент капитализации, эквивалентный понятию «доходность», означающий долговременную капитализацию суммы  для регулярного извлечения дохода  и, как правило, невелик из-за высокой надежности актива.

Обычно формула (6) применяется при , давая приемлемый результат.

Актив, приносящий доход в виде долговременного постоянного дохода, с учетом его последующей перепродажи. Ценность такого актива складывается из текущей стоимости аннуитета и ожидаемой цены перепродажи (реверсии) актива  после окончания срока владения. Предполагается, что бизнес будет и дальше неограниченное время приносить стабильные доходы  в виде аннуитета. Текущая стоимость актива составит

.                                       (7)

Ценность актива на текущий момент времени при  превращается в выражение

,                                                          (8)

где:  - предел, к которому стремится стоимость бизнеса как неамортизируемого актива; ;  - равновеликий бесконечный ежегодный доход, ожидаемый в будущем на протяжении  периодов;  - предполагаемая цена продажи актива в отдаленном будущем, но не вошедшая в состав формулы из-за превращения ее в нуль в результате дисконтирования;  - коэффициент капитализации.

Фрактальность в виде IRV-связи. Формулы (4), (6) и (8) по своей форме одинаковы, не смотря на то, что отражают различные финансово-экономические ситуации, от простейшей (4) до сложной (8), выражающей собой стабильность результата, к которому стремится рациональный инвестор. Таким образом, можно утверждать, что IRV-формула (связь) выражает собой фрактальность рыночной экономики, когда ценность (стоимость) и простейшей, изначальной цели, и заветной мечты инвестора по форме (формуле) своей подобна. На базе простой, но емкой формулы (8) в капиталистической рыночной экономике построена стройная система определения ценности недвижимости, приносящей доход. Эта формула применяется также в оценке бизнеса, машин и оборудования, финансовых вложений.

Модель Гордона

Простейшая финансовая операция. Пусть требуется определить текущую стоимость актива (акции) , стоимость которого через один период, например год, возрастет с темпом прироста  на величину , составив значение . При этом актив в конце периода принесет доход (дивиденд) величиной . Ставка дисконтирования, соответствующая доходности аналогичных активов, составляет значение .

Текущая стоимость актива определится из соотношения . Откуда

.                                                     (9)

Формула (9) является классической формулой Гордона. Принятие в ней в качестве дохода  величины дохода за минувший период , возрастающего с тем же темпом прироста , что и стоимость актива, то есть до значения , дает результат

.                                                (10)

где: ;  - единовременный доход за прошедший период; в стоимости  учтен ее возврат по окончании периода ;  - доходность финансовой операции за период;  - темп прироста дохода и стоимости актива за период.

Итак, стоимость актива, по которому ожидается ее конкретный рост через год, определяется по величине ожидаемого дохода с учетом поправки ставки дисконтирования на темп прироста стоимости актива. Формула (10) называется моделью Гордона.

Актив с долговременным приростом дохода. Предполагается, что доходы ежегодно будут расти с постоянным темпом  и определятся следующим образом:

,

,

…,

.

Текущая стоимость такого актива составит величину

.

Текущая стоимость актива при  при переходе к пределу определится выражением

,

так как , поскольку .

Текущая стоимость актива с постоянным приростом дохода в краткой записи без сохранения знака предела определится формулой

,                                                (11)

где:  - предел, к которому стремится стоимость бесконечных постоянно растущих доходов; ;  - доход за последний прошедший период; приняты во внимание  ежегодных будущих доходов;  не учтена;  - коэффициент капитализации, эквивалентный понятию «доходность», означающий долговременную капитализацию суммы  для регулярного извлечения дохода;  - темп ежегодного роста дохода; .

Актив с долгосрочным постоянным приростом доходов с учетом реверсии. Ценность такого актива складывается из текущей стоимости доходов и остаточной ожидаемой ценности актива  после окончания срока владения. Предполагается, что бизнес будет и дальше неограниченное время приносить нарастающие доходы  с темпом прироста .

Ценность актива на текущий момент составит величину

.

При  она определится выражением

.

Ценность актива примет вид

,                                                (12)

где:  - предел, к которому стремится стоимость бесконечных постоянно растущих доходов и остаточная ценность актива; ;  - доход за последний прошедший период; приняты во внимание  ежегодных будущих доходов;  учтена;  - коэффициент капитализации, эквивалентный понятию «доходность», означающий долговременную капитализацию суммы  для регулярного извлечения дохода;  - темп ежегодного прироста дохода; .

Фрактальность в виде модели Гордона. Несмотря на различия финансово-экономических ситуаций, формулы (10), (11) и (12) по своей форме одинаковы, указывая на то, что модель Гордона выражает собой фрактальность рыночной экономики.

Непрерывное начисление процента как масштабная симметрия финансово-экономического процесса

Несмотря на то, что основным свойством фракталов является нецелое, дробное значение их размерности, оказывается, что есть «толстые» фракталы, у которых размерности все-таки целочисленные. Поэтому более универсальным свойством фракталов является их самоподобие, то есть наличие некоторой масштабной симметрии. Например, это кривые, вид которых не меняется при изменении кратности масштаба. К таким кривым относится и экспонента. Кстати, дифференцирование и интегрирование не искажает ее форму.

Изменение параметров по экспоненциальной зависимости наблюдается и в экономике. Экономический рост интересен в длительной перспективе. Но при большом количестве периодов маловероятно, чтобы процентная ставка была постоянной. В экономике часто приходится сравнивать активы, в том числе проекты, разной продолжительности и с различной структурой доходов и затрат. Для их сравнения используют показатель доходности за период, как весь временной отрезок использования актива.

В случае накопления средств  по простому проценту по ставкам  сумма в конце периода составит

.                                     (13)

При  конечная сумма рассчитывается по формуле

.                                              (14)

Средняя доходность за период определяется из равенства между собой выражений (13) и (14), являясь средней арифметической

.                                       (15)

При накоплении средств  по сложному проценту сумма в конце периода определяется выражениями (1) и (2). Средняя доходность за период определяется из равенства этих выражений как средняя геометрическая

.                             (16)

При начислении сложного процента  раз в год (компаудинг) формула (2) принимает вид

.                                        (17)

Непрерывное начисление процента. Такая финансово-экономическая операция сформировалась в 1975 г., когда в США ставка процентных выплат по займам и депозитам сроком от шести до десяти лет была законодательно ограничена на уровне 7,75 % годовых. В погоне за клиентами банки, не нарушая закон, увеличивали частоту начисления сложных процентов в течение года. Предел был достигнут, когда одна из компаний предложила непрерывное начисление годовой ставки 7,75 %.

При непрерывном начислении процента (бесконечный компаудинг)  в выражении (17) стремится к бесконечности. В этом случае

,

где  - трансцендентное число 2,71828…, принятое за основание натуральных логарифмов.

В результате денежные средства, наращиваемые непрерывно по сложному проценту, определяются выражением

,                                                     (18)

где:  - непрерывно начисляемый процент, нередко называемый силой роста и обозначаемый .

Экспонента. Уравнение (18) является экспонентой. Для лучшего понимания его экономического смысла следует сравнить результат с начислением простых процентов, когда сумма нарастает линейно. Из выражения (14) при  следует, что . Подстановка  в (18) приводит к равенству . То есть, если за некоторый период времени сумма, ежегодно начисляемая по простым процентам, удваивается, то за тот же период и с тем же процентом, но начисляемым непрерывно, сумма возрастет в 2,718 раза. Так что при непрерывном начислении процентов рост инвестиций не так велик, как кажется на первый взгляд, и вначале такие операции являлись весомым рекламным средством банковских учреждений.

Ныне непрерывно начисляемые проценты используются все чаще, например, при определении курсовой стоимости опционов, оценке бизнеса методом реального опциона.

Моделирование ценовой динамики активов. Такое моделирование предполагает выбор ценовых коэффициентов на каждом этапе, т.е. . Ценовой коэффициент по всему периоду от  до  определится по формуле , которая после преобразования приводится к виду

.                        (19)

Метод моделирования динамики цен активов с использованием ценовых коэффициентов, будучи несложным в теоретическом представлении и практическом использовании, все же включает в себя операцию умножения, что усложняет применение математического аппарата теории вероятности.

Запишем результат (19) в показателях доходности при росте суммы по сложным процентам

,

где  - среднее значение доходности в пределах всего периода.

Прологарифмировав обе части выражения, получим

.             (20)

Сумма логарифмов темпов начисляемых процентов для каждого интервала времени дает значение логарифма темпа доходности, начисляемой за суммарный период, что логично с экономической и несложно с математической точек зрения.

Заметим, что действия для расчета средней доходности в формулах (14), (2) и (18) определяются видом связи между собой параметров  и .

В формуле (14)   и  представляют произведение, не будучи показателями степени, тем самым образуя арифметическую прогрессию.

В выражении (2)  фактор  перешел в степень, усложнив и ускорив динамику наращивания суммы.

В формуле (18)   и  образовали произведение, переняв простоту (14), и, будучи показателями степени, сохранили сложность процесса и его динамику. Математически это дает возможность замены операции умножения операцией суммирования путем перехода от доходности, начисляемой дискретно, к доходности, начисляемой непрерывно.

Действительно, из (18) следует

, .

Логарифмируя обе части выражения, получаем

.

Таким образом, натуральный логарифм итогового ценового коэффициента (19) равен сумме непрерывных доходностей по инвестиционным периодам:

.                                         (21)

Переход к непрерывной доходности и оперирование с показателями степени позволило от операции умножения (19) перейти к операции суммирования (21), перейдя при этом в область логарифмического распределения ценового коэффициента.

Ныне непрерывно начисляемые проценты используются все чаще, например, при определении курсовой стоимости опционов, оценке бизнеса методом реального опциона.

Вид экспоненты, характеризующей непрерывное начисление процентов, не меняется при изменении кратности масштаба, что подчеркивает фрактальный характер рыночной экономики.

Логнормальное распределение. Непрерывное начисление процента, помимо ускоренного роста денежной суммы, позволяет осмыслить и получить реальную, с экономической точки зрения, величину параметра, например доходности, при ее нормальном распределении, когда на случайную величину оказывает влияние множество факторов, каждый из которых не имеет определяющего значения.

Согласно свойству нормального распределения, определяемого кривой Гаусса, в результате сложения нормально распределенных величин также должны получаться нормально распределенные величины. Однако, если проценты, распределенные нормально, начисляются дискретно, то доходность за период оказывается равной не арифметической сумме доходностей, а составляет величину, определяемую формулой (16), что нелогично. Противоречие разрешается при принятии в каждом отдельном периоде доходности, начисляемой непрерывно согласно (21). Следовательно, в динамичных финансовых ситуациях более реальна та, при которой нормально распределена не дискретная доходность, а непрерывно начисляемая доходность. Но если логарифм случайной величины распределен нормально, то сама случайная величина имеет логнормальное распределение. Последнее в большей степени согласуется с экономической логикой и практикой.

При логнормальном распределении непрерывно распределяемые доходности подлежат сложению, знак экономического параметра только положителен, а его распределение вероятности характеризуется правосторонней скошенностью. Последняя свидетельствует о том, что логнормально распределенная переменная обладает большей вероятностью возрастать, чем уменьшаться, что согласуется с преобладанием оптимистических предпочтений экономического субъекта по сравнению с пессимистическими ожиданиями.

Выводы

Рыночная экономика капитала фрактальна, поскольку, даже в простейшем подходе, в ней проявляются принципы концепции фрактальности и основные свойства фракталов. О фрактальной структуре рыночной экономики свидетельствуют, как минимум, такие ее видовые модели, как IRV-формула и модель Гордона.

Фрактальный анализ в экономике находится на пути между разработанной и апробированной концепцией фрактальности рынка и убеждением практиков эффективного рынка в жизнеспособности фракталов не только в естественных процессах, но и в экономической сфере, поскольку фракталы превалируют, видимо, в программах любой жизнедеятельности. Находясь одновременно в стадиях изучения, апробации и убеждений, фрактальный анализ в экономической науке станет в скором времени непременной частью, а, возможно, и доминантой в анализе факторов, процессов, показателей и результатов деятельности современного индустриального общества.